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변수를 각 노드로 표시한 방향, acyclic 그래프로 노드당 CPT를 통해 조건부 확률 표시
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특정 조건을 전제한 상태의 joint distirbution을 파악하기 쉽다.
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N개의 불리언 변수의 joint distribtuion: $2^N$ ↔ k개의 부모를 가지는 N개 노드의 BN: $O(N2^{k+1})$
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BN의 경우 음수의 경우까지 포함해서 $2^k *2$
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full joint distribution을 계산할 때 BN을 통해 공간 절약 가능, local CPT 활용이 더 쉬움
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(조건적) 독립은 분포(distribution)의 특징
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Z가 주어질 때 X, Y 독립적임을 알기 위해 Z의 확률 분포 필요
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chain rule(변수들과의 관계 표현)을 통해 BN의 조건부 독립을 가정할 수 있음
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BN 그래프를 고를 때 만들어진 가정을 이해하기 위한 모델링
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evidence Z가 주어질 때 특정 노드 X, Y의 독립성 여부를 증명할 수 있음
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X → Y → Z: X, Z는 Y를 통해 연결되어 있는 반례 존재
- Causal chain: X → Y → Z
- $P(x,y,z)=P(x)P(y|x)P(z|y)$
- y가 주어지면 x, z는 서로 독립적: $P(z|x,y)=\frac{P(x,y,z)}{P(x,y)}=\frac{P(x)P(y|x)P(z|y)}{P(x)P(y|x)}=P(z|y)$
- Common cause: Y → X, Z
- y가 주어지면 x, z는 서로 독립적: $P(z|x,y)=\frac{P(x,y,z)}{P(x,y)}=\frac{P(y)P(x|y)P(z|y)}{P(y)P(x|y)}=P(z|y)$
- Common effect: X, Y → Z
- x, y는 서로 독립적
- z가 주어지면 x, y는 서로 독립적이지 않음: effect 관찰 자체가 확률에 영향을 미침
- General Case: BN → evidence가 주어질 때 두 노드가 독립적인지 확인
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Reachability: evidence 노드를 음영 처리한 뒤 그래프 상의 경로 확인
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경로가 active한지 inactive한지 구분할 수 있음
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d-separation을 통해 확인 → shaded된 노드를 제외하고 노드가 연결되는 경로가 존재하는가?
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경로가 하나라도 존재할 때 두 노드 간의 독립성은 보장할 수 없음 ↔ 모든 경로가 존재하지 않을 때 독립적이라고 보장할 수 있음
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d-separation을 통해 BN의 특정 노드 간의 독립 여부를 확인할 수 있음 → active path 확인
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조건부 독립을 이루는 모든 리스트를 확인할 수 있음
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$\{X\perp Z|Y\}, \,\,\,\,\,\{X\perp Z|Y\}, \,\,\,\, \{X\perp Z\},\,\,\,\,\{\}$
